مثلثات کروی در نجوم در بخشها ی مختلف کاربرد وسیعی دارد از جمله از این کاربردها :

• مختصات نجومی (سه دستگاه مختصات نجومی وجود دارد که با مثلثات کروی کار میکنند.)
• اندازه گیری زوایای میل ، سمت ، عرض جغرافیایی ، طول جغرافیایی و ... در این دستگاهها با ابزار مثاثات کروی ممکن هست.
• انحراف محور خورشید (دایرةالبروج خورشید) را از روی مثلثات کروی میسنجند.
• در اندازه گیری فواصل نجومی و تنظیم اوقات شرعی ، طلوع و غروب خورشید و رصدهای نجومی مثلثات کروی نقش بسزایی دارد.

مثلثات و علم جغرافی

شکل کره زمین، در واقع نامنظم است و شبه کره geoid نامیده می شود. اما انحرافهایی از یکی از اجسام تابع محاسبه ریاضی نسبت به اندازه آنها کوچک اند.
تحلیل مسیرهای ماهواره های زمینی مصنوعی نشان داده است که یک بیضی وار مناسب با سه محور بهترین شکل را برای شبه کره به دست می دهد.
در واقع تفاوت بین دو محور واقع در صفحه استوایی(equatorial plane) آنقدر کوچک است که تاکنون برای اندازه گیریهای زمینی مشخص نشده است.
بنابراین در ژئودرزی عالی، کره زمین به صورت کره وار spheroid در نظر گرفته می شود.
در این مورد، اولین محاسبات دقیق توسط فردریش ویلهلم بسل انجام گرفت.
در 1924 بیضوار محاسبه شده توسط "J.HAYFORD"از لحاظ بین المللی شناخته شد.
جدیدترین مقادیر توسط "F.N.KRASOVSKIL" مشخص شده اند.این مقادیر برای کار در ژئودزی در روسیه به کار میروند.

نجوم کروی

مواضع کشتیها و هواپیماها، غیر از روش وضعیت، حتی امروزه نیز با استفاده از ستاره ها مشخص می شود. این روش زمانی تنها روش دریانوردی در دریاهای بزرگ بود و سیاحان سرزمینهای ناشناخته تنها به آنها اطمینان می کردند.
در این مورد اندازه گیریهای لازم با قطب نما، تئودولیت، سکستانت آیینه ای یا ابزار زاویه- اندازه گیری مشابه و ساعتی دقیق انجام می گرفت.
بعدها از رادیو برای انتقال علامت زمانی برای جهت یابی تقریبی کفایت می کند. در تعیین دقیق موضع مورد نظر باید اطلاعات مربوط به وضعیت ستارگان بسادگی قرار گرفته و حرکت خورشید، سیارات، ماه و ماههای مشتری و دستگاههای مختصاتنجومی را که وضعیتهای واقع در افلاک درآنها داده شده اند بدانیم.
اطلاعاتی از نجوم کروی که برای مقاصد دریانوردی دارای اهمیت اند در تقویمهای دریانوردی و نجومی آورده شده اند از دستگاههای افقی و استوایی.
این دستگاهها مانند تمام دستگاههای مختصاتی نجومی، مبتنی بر این حقیقت اند که آسمان پرستاره در نظر رصدکننده به صورت قسمتی از کره ای عظیم موسوم به کره سماوی آشکار می شود. موضع هر نقطه واقع بر این کره را می توان با استفاده از دو مختص عددی مشخص کرد.
هر دایره عظیمه با قطبهایش به عنوان دستگاهی مرجع برای این دو مختص مناسب است. بر این دایره یک زاویه در جهت مشخص شده از نقطه ای معلوم اندازه گیری می شود و اندازه دومی بر اندازه عظیمه عمومی گذرنده از نقطه ای که می خواهیم موضعش را معین کنیم و قطب دایره مبنا معین می شود.

قضیه فیثاغورث

در علم ریاضی، قضیه فیثاغورث، یک رابطه در فضای اقلیدسی بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بیان میکند. اگر چه این قضیه قبل از آن که فیثاغورث آن را بیان کند توسط بابلیان و هندوها به کار برده می شد ولی به نام او ثبت گردید

قضیه

 

فرض کنید سه مربع روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه،که طول اضلاع قائم آن a وb و طول وتر آن c میباشد؛مطابق شکل زیر می سازیم


این قضیه به ما توضیح میدهد که جمع مساحتهای دو مربع ساخته شده روی دو ضلع قائم یک مثلث قائم الزاویه با مساحت مربع ساخته شده روی وتر برابر است.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دارای یک زاویه قائم میباشد و به ضلعی که روبروی این زاویه در مثلث قرار دارد، وتر میگویند.
در شکل اضلاع زاویه قائم با aوb و وتر با c نشان داده شده است.
بیان دیگر قضیه به این صورت است که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات دو ضلع قائم با مجذور وتر برابر است.

جالب است بدانید که بیش از چهل روش هندسی برای اثبات این قضیه وجود دارد.

 

اثبات قضیه

 

می توان با توجه به شکل روبرو اثبات هندسی قضیه را به راحتی درک کرد.
در هر دو شکل مربعی به ضلع a+b داریم.در شکل سمت راست چهار نمونه از مثلث قائم الزاویه دور مربع ساخته شده بروی وتر وجود دارد. و هر چهار مثلث دارای مساحت یکسان می باشند. با چند جابجایی در شکل سمت راست به شکل سمت چپ می رسیم.در این شکل همان چهار مثلث قبلی وجود دارند ولی مربعی که اضلاع آن به c بود به دو مربع به اضلاع a,b تبدیل شده است، که همان قضیه فیثاغورث را نشان میدهد

شکل روبرو نیز نشان دهنده روش دیگری از اثبات هندسی می باشد:

سری مثلثات

توسعه نظریه سریهای مثلثاتی در 1822 ،با چاپ کتابی توسط فوریه آغاز شد.تحقیقات چندین ساله وی به گسترش نظریه وسیعی در مورد سریها منجر شدکه امروزه به نام خود وی معروف ،و از اهمیت بسیاری در ریاضیات ،علوم و فن برخوردار است.ایده اساسی این نظریه،معرفی توابع تناوبی یا دوره ای توسط توابع تناوبی(مثلثاتی) خاص است.

سری فوریه برای بررسی حرکات تناوبی در آکوستیک یا صوت شناسی،الکترودینامیک ،اپتیک یا نور شناسی، ترمودینامیک و غیره مورد استفاده قرار گرفته است.

در مهندسی الکتریک مسائلی چون رفتار بسامدی ،عناصر سوئیچینگ ،یا انتقال ضربه ها را میتوان به کمک سری فوریه حل کرد.

پیش بینی جزرومد در دریانوردی دارای اهمیت فراوانی است.از آنجا که اینها پدیده هایی تناوبی هستند از سری فوریه استفاده میشود و در تمام بندرهای مهم،وسائل مکانیکی چون پیش بینی کننده های جزر و مد ساخته میشود.امروزه کمتر شاخه‌ای از فیزیک،ریاضیات، یا صنعت و فن وجود دارد که در آن از سریهای فوریه استفاده نشود.

تعریف

سری توابع که جمله عمومی آن

با ضرایب ثابت و است سری مثلثاتی نامیده میشود. اگر این سری در بازهای از طول همگرا باشد،آنگاه از آنجا که توابع مثلثاتی تناوبی اند، به ازای جمیع مقادیر x همگراست و تابع تناوبی ی را نشان میدهد.

این تابع لزوما پیوسته نیست، و در واقع اغلب بین آنچه که توسط فرمول های مختلف داده شده است گسستگی هایی دارد.
از طرف دیگر،اگر این سری به طور یکنواخت همگرا باشد،آنگاه مجموع آن، ،پیوسته است. در این حالت میتوان ارتباطی بین ضرایب و و تابع مجموع به دست آورد.ضرب سری




در عاملهای کراندار یا که در آنها p عددی صحیح و نامنفی است اختلالی در همگرایی یکنواخت آن به وجود نمی آورد،بنابراین میتوان

و

را با استفاده از انتگرالگیری جمله به جمله سری یا محاسبه کرد
این انتگرالگیری ها شامل انتگرال های روی بازه توابع و و و اند.

تابع مثلثاتی

مثلثات مطالعه اندازه گیری زاویه است. اما این سخن به معنی اندازه گیری مقدماتی زاویه در هندسه نیست که در آن مقدار زاویه مورد نظر هر یک نقاله خوانده می شود بلکه محاسبه با توابع خاصی است که بستگی به زوایا دارند و به علت کابردشان در مثلثات، توابع مثلثاتی نامیده می شوند.

 

تعریف روی مثلث قائم الزاویه

برای تعریف توابع مثلثاتی از یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم به عنوان مثال می خواهیم این توابع را برای زاویه A در شکل روبرو تعریف کنیم
ما برای استفاده از این مثلث نامگذاری زیر را انجام می دهیم.
وتر ضلعی است که روبروی زاویه قائم قرار دار که بلندترین ضلع مثلث نیز می باشد و آن را با h نشان داده شده است.
ضلع مقابل زاویه A که آن را با a نشان می دهیم.
ضلع مجاور زاویه قائمه که درشکل با b نشان داده شده است.
حال توابع مثلثاتی را برای زاویه A روی مثلث ABC تعریف می کنیم.

• sin: نسبت ضلع مقابل به وتر را سینوس می گویند یعنی:

 

 

• cos: نسبت ضلع مجاور به وتر را گویند یعنی داریم:

 

 

• tangent: نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور را گویند.

 

 

• cosecant: نسبت وتر به ضلع مقابل زاویه را گویند.

 

 

• secant: نسبت وتر به ضلع مجاور است

 

 

• cotangent: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را گویند.

 

 

تعریف روی دایره واحد

در یک صفحه دستگاه مختصات دکارتی، زاویه می تواند هر چهار ربع را طی کند، و مقدار آن می تواند به حسب درجه، گراد رادیان اندازه گیری شود.
ضلع متروک این زاویه، دایره با شعاع و مرکز در مبدا، دایره موسوم به دایره واحد یا یک را در نقطه قطع می کند.
زاویه در تقاطع محور ها با دایره، مقدار صفر را اختیار می کند این زاویه، طی یک دوران کامل ضلع متحرکش حول مبدا از صفحه شروع و پس از رسیدن به مکان اولیه، دارای زاویه 360 درجه می باشد.
روابط مثلثاتی که برای زوایای مختلف برقرار است. برای زوایای بزرگتر از 360 نیز، بر قرار می باشد. مثلا برای دو تابع سینوس و کسینوس خواهیم داشت: